Du local au global – Esquisse

Parmi mes motifs intellectuels préférés, il y a la relation entre les propriétés “locales” et “globales” d’objets abstraits. C’est un motif extrêmement général, qu’on va retrouver dans les domaines de la pensée les plus variés (mathématiques, sciences sociales, physique, politique…) et c’est souvent un point où se formulent des problèmes difficiles et des résultats profonds.

J’ai déjà eu l’occasion d’en parler plus tôt ici en discutant les notions de rapports de pouvoir (locaux) et d’états de domination dans des configurations de pouvoir (globaux) chez Michel Foucault dans le premier tome de l’Histoire de la sexualité. On peut multiplier dans cette veine les exemples d’énoncés qui s’appuient sur un passage de l’un à l’autre.

Monter et descendre les échelles du pouvoir

Déjà cité, le propos de Foucault sur les propriétés des tactiques et des stratégies : “la rationalité du pouvoir, c’est celle de tactiques souvent fort explicites au niveau limité où elles s’inscrivent – cynisme local du pouvoir” tandis que les effets d’ensemble, obtenus en chaînant ces relations, forment des “grandes stratégies anonymes, presque muettes”, “implicites”.

L’action politique est plongée là-dedans : si l’on n’a pas d’accès direct à cette échelle des stratégies et que l’on ne peut agir explicitement que de façon localisée, quels effets attendre toutefois des tactiques déployées ? Réciproquement, si l’horizon politique se formule au niveau macroscopique – par exemple, le démantèlement des états de domination, comment construire des tactiques pertinentes ? Il n’y a bien sûr pas de réponse générale sur les choix tactiques, mais peut-on distinguer des principes communs d’analyse des relations entre ces deux échelles ? Des formes socio-historiques variées dans la manière de les articuler ?

Les structure socio-historiques de temps long, dont les grands états de domination – capitalisme, patriarcat… nécessitent en permanence de passer d’un registre à l’autre si l’on veut les penser dans leur trajectoire historique : leur émergence, leur continuité, leurs transformations, etc.

C’est particulièrement vrai si l’on veut pouvoir, par exemple, parler de la continuité du patriarcat quand les acteurs impliqués sont renouvelés en permanence, quand les institutions sous-tendant ces rapports se transforment (par exemple, l’évolution de l’institution du mariage) ou même que la façon de produire les pôles de cet état de domination évolue : on ne produit pas les hommes et les femmes au XVIIème siècle de la même manière qu’au XXème siècle, mais l’on veut tout de même pouvoir parler avec cohérence de domination masculine à travers le temps.

Autre exemple : on veut pouvoir parler de l’émergence – historiquement située – des sociétés capitalistes quand bien même certaines formes de relations (marchandes, par exemple) pré-existent. C’est nécessaire pour éviter des anachronismes, comme parler de capitalisme avant l’heure.

Dans ces différents cas, on trouve plusieurs objets théoriques utilisés pour articuler ces deux niveaux. Chez Foucault, c’est le rôle des techniques de gouvernement (“Entre les deux, entre les jeux de pouvoir et les états de domination, vous avez les technologies gouvernementales, en donnant à ce terme un sens très large – c’est aussi bien la manière dont on gouverne sa femme, ses enfants que la manière dont on gouverne une institution. L’analyse de ces techniques est nécessaire, parce que c’est très souvent à travers ce genre de techniques que s’établissent et se maintiennent les états de domination.” dans L’éthique du souci de soi comme pratique de la liberté).

Une autre veine est celle des institutions. Dans un marxisme sans doute très simplifié, l’institution de la propriété des moyens de production est le point de passage central entre échelle. Dans l’économie de la régulation – héritière de l’analyse marxiste et de l’école des Annales – cinq formes institutionnelles (rapport salarial, formes de la concurrence, rapport monétaire, État, insertion internationale) font le pont entre les comportements locaux (“rationnalité institutionnellement située” des acteurs) et un capitalisme toujours sous-spécifié.

Sur la question de l’institution, je ne connais pas à ce stade l’approche retenue par Castoriadis pour tenir ensemble local et global. Celui-ci travaille en effet avec des concepts analogues à l’échelle individuelle et socio-historique : imaginaire, imaginaire institué/instituant, autonomie… La première impression que j’en ai est qu’il sépare assez fortement ces échelles – en insistant sur le caractère global des significations imaginaires sociales, par exemple, mais je crois que L’institution imaginaire de la société donne des éléments plus précis sur ces relations.

Accroche-toi au faisceau, j’enlève l’échelle

Les mathématiques ne sont pas en reste : ces jeux entre local et global sont au coeur d’un grand nombre de développements dans l’histoire récente des mathématiques. En particulier, depuis le milieu du XXème siècle, la construction des faisceaux (introduits par Jean Leray) et de leur théorie, puis son extension notamment par les topos (à partir d’Alexandre Grothendieck, encore lui !) qui a permis de donner un langage commun à de nombreux raisonnements de cette nature.

À ce stade, je connais encore très mal ces théories – j’essaie d’avancer sur le Category and Sheaves de Masaki Kashiwara et Pierre Schapira pour cela – mais je peux tout de même en donner ici quelques idées générales. Très schématiquement, les faisceaux sont une manière d’attacher à des espaces des objets locaux de façon cohérente ; l’étude des faisceaux est alors le point de passage pour évaluer l’obstruction à passer de propriétés locales à des propriétés globales.

En détaillant un peu plus¹ : on part d’un espace doté d’une topologien c’est-à-dire d’une façon de considérer que des choses sont “proches”, ce qui va permettre de donner un sens au “local” – lorsqu’elles sont dans une même “région” (on parle d’ouvert) de . Un faisceau attache un objet (ou plutôt un ensemble d’objets) à chacune de ces régions – typiquement un ensemble ou un objet avec plus de structure algébrique comme un groupe abélien ou un espace vectoriel. Le choix d’un objet local particulier se fait typiquement par le choix d’un – on parle de section de au-dessus de .

La “cohérence” vient de quelques propriétés demandées à cette opération :

• On doit avoir une notion de “restriction à une sous-région” : si on doit avoir un (avec quelques conditions supplémentaires pour s’assurer que la restriction de à lui-même ou que la composition de restrictions se comporte naturellement – on parle en théorie des catégories de fonctorialité). Lorsque seule cette condition est vérifiée, on dit de qu’il est un préfaisceau.
• La localité : si l’on dispose d’une couverture totale d’une région par des sous-régions et que deux sections sont égales localement (I.e leur restriction sont égales sur chacun des ) alors elles sont égales globalement ;
• Le recollement : avec le même genre de recouvrements de , si l’on a pour chaque une section locale et qu’elles sont compatibles entre elles – c’est-à-dire qu’elles coïncident là où les régions se recouvrent – alors il existe une (unique par localité) section dont la restriction à chaque est . Si l’on dispose d’un choix d’objets cohérents localement, on dispose d’un choix global compatible.

Là encore, il y a une immense gamme d’exemples d’objets et de questions qui peuvent se traduire dans ce langage. L’exemple le plus classique est d’attacher à chaque ouvert l’ensemble des fonctions continues définies sur celui-ci, avec la notion naturelle associée de restriction (d’une fonction à un sous-domaine).

Typiquement, on aura de nombreuses situations où l’on est capable de construire des solutions “locales” (par exemple des sections locales) et où l’on veut savoir si l’on peut construire une solution “globale” (une section globale). C’est pour parvenir à répondre à ce genre de questions, et mesurer les obstructions éventuelles, que sont développées les théories dites cohomologiques – autre sujet très lié et très vaste.²

Je n’en touche qu’un mot vu que je ne connais quasiment pas le contenu, mais c’est également pour étendre le champ d’application de ces constructions et de ces raisonnements très “géométriques” qu’ont été introduits les topos – dont je comprends qu’ils ont une portée très large et font l’un des principaux ponts entre géométrie et logique aujourd’hui.

Jusqu’à il y a peu, dans l’ensemble, j’étais à peu près coincé à ce stade : je soupçonne que dans l’outillage conceptuel des topos, il y a de quoi amener des façons riches et précises de parler et d’interroger le genre de situations décrites au début de ce billet ; mais qu’il faut bien se mettre à ce niveau d’abstraction là pour espérer quelque chose tant les objets dont on parle sont distincts des objets mathématiques usuels. Or la marche à franchir est assez grande, et je maîtrise aussi trop mal les domaines mathématiques dans lesquels ces théories ont été développées pour pouvoir facilement m’y raccrocher.

La géographie, ça sert, d’abord, à faire de l’adaptation de domaine

J’étais par conséquent enchanté de voir se profiler une perspective bien plus proche pour essayer de me former à ces concepts – pas plus loin que pour la description par deep learning de l’occupation des sols français, l’un des projets phares de l’IGN aujourd’hui. Dans ce cadre, autour duquel l’Institut a construit un challenge scientifique ouvert jusqu’en mars, on cherche à produire des modèles capables d’ingérer de l’imagerie aérienne et de décrire la couverture des sols. L’un des principaux enjeux, c’est de parvenir à ce que ces modèles soient performants sur l’ensemble du territoire, en ayant réussi à généraliser au-delà des diversités des conditions d’acquisition (date, radiométrie…) comme des paysages sous-jacents (les types de végétation ou les aspects des bâtiments ne sont pas les mêmes dans le Nord et près de la Méditerranée).

La stratégie, pour cela, consiste à :

• Multiplier les “domaines” (département * année de la prise de vue aérienne) dans les données d’entraînement ;
• Assurer un partage des domaines entre entraînement et évaluation pour mesurer les performances de généralisation vers de nouveaux domaines.

Pour autant, il y a quelque chose d’insatisfaisant et d’assez arbitraire dans la façon dont on délimite ces “domaines”, qui se traduisent directement en questions pratiques : faut-il travailler à l’échelle départementale ? Régionale ? Plus locale ? A l’échelle de sylvo-écorégions ? Différencier les zones urbaines des zones naturelles ? Peut-on vraiment avoir un modèle généralisant bien sur l’ensemble du territoire ou l’amélioration sur un pan de celui-ci se paye-t-elle nécessairement ailleurs, auquel cas que devrait être notre base minimale de modèles ?

Je conjecture que ces questions peuvent être formulées précisément dans le langage des faisceaux, et que celui-ci est particulièrement adapté pour articuler la structure géométrique sous-jacente (la géographie du territoire national) à nos données et nos modèles. Quelques premières observations en ce sens :

• L’extraction d’un jeu de données local (sur quelques départements par exemple) est un foncteur covariant (en voyant l’espace topologique comme une catégorie par ses ouverts et l’inclusion et avec la petite catégorie de tous les datasets possibles sur le territoire et la relation d’inclusion).
• Les “modèles d’occupation des sols” forment un faisceau sur , associant à une région l’ensemble des modèles applicables en où sont les images aériennes, les cartes de couverture des sols, avec la restriction classique sur . On doit même pouvoir limiter à une classe paramétrique, comme les réseaux de neurones profonds engendrables par une même architecture.
• Plus hypothétique : on doit pouvoir construire une catégorie de modèles munie de la relation de généralisation (plus floue que la coïncidence stricte ci-dessus) et essayer de regarder si l’entraînement de réseaux de neurones profonds nous donne un préfaisceau vers cette catégorie.

Même en disposant de cela, le chemin est assez long pour ensuite en dériver des principes d’apprentissage adaptés ou des quantités calculables permettant d’évaluer l’obstruction ou non à la production de modèles généraux, mais je serai assez curieux de voir ce qui peut en sortir !

Notes

1 Ne pas du tout rentrer dans le formalisme manque une bonne partie de l’intérêt du propos même pour les lecteurs et lectrices non habituées aux mathématiques, mais celui-ci est souvent une barrière importante. Je fais un choix intermédiaire avec des définitions pas tout à fait formalisées et assez verbeuses, en espérant que cela permette d’être lisible pour toutes et tous.

2 La propriété de recollement permet certes d’assembler les objets locaux, mais encore faut-il parvenir à trouver des collections cohérentes d’objets locaux – c’est là-dessus qu’on va rencontrer des obstacles.